Das ist der vierte Beitrag aus der Reihe über Gleichungen:

  1. Gleichungen ersten Grades
  2. Gleichungen zweiten Grades
  3. Gleichungen dritten Grades
  4. Gleichungen vierten Grades
  5. Exponentialgleichungen
  6. Trigonometrische Gleichungen
  7. Bruchgleichungen
Definition
Gleichung vierten Grades
Eine Gleichung, in welcher die Unbekannte x maximal als Hochzahl vierten Grades erscheint, z.B. 3x^2+5x^4=10

Es gibt verschiedene Arten an Gleichungen vierten Grades. Ich möchte dir einige Beispiele aufzeigen und die Schritte, die zum Lösen nötig sind.

x^4 und Zahl

-6x^4=-486 |:(-6)
x^4=81 |\sqrt[4]{}
x_{1}=3;x_{2}=-3
L=\{3;-3\}

Erklärung:

  1. Du teilst durch die Zahl die vor dem x^4 stehst und schon hast du das x^4 alleine.
  2. Du ziehst auf beiden Seiten der Gleichung die vierte Wurzel und bekommst zwei Lösungen (+ und -)

Wichtig

  • Bei dieser Art von Gleichung gibt es nur x^4 und eine Zahl.
  • Wenn du die vierte Wurzel ziehst, gibt es das Ergebnis immer als positive UND negative Zahl.
  • Aus negativen Zahlen kann man keine Wurzel ziehen – das Ergebnis ist dann eine leere Lösungsmenge.

ausklammern

x^4+6x^3+3x^2-10x=0 | ausklammern
x\cdot(x^3+6x^2+3x-10)=0
x_{1}=0
x^3+6x^2+3x-10=0

Erste Lösung durch Ausprobieren oder mit dem GTR finden.

x_{1}=-5
\polyset{vars=x, style=C, delims={(}{)}} \polylongdiv{(x+5)(x^2+x-2)}{x+5}

1x^2+x-2=0
a=1; b=1; c=-2
x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt[2]{(1)^2-4\cdot1\cdot(-2)}}{2\cdot1}
x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt[2]{1+8}}{2\cdot1}
x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt[2]{9}}{2}
x_{1,2}=\frac{-1\pm3}{2}
x_{1}=-5; x_{2}=1; x_{3}=-2
L=\{-5;-2;0;1\}

Erklärung:

  1. Du musst ein x ausklammern und kannst dann die beiden Teile getrennt betrachten.
  2. Die erste Lösung ist somit x=0 und mit der Klammer musst du dann noch weiterrechnen.
  3. Die Lösungen der Klammer kannst du dann mit der Polynomdivision rechnen.

Wichtig

  • In jedem “Element” ist ein x.
  • Hierfür benötigt man zum Lösen den Satz vom Nullprodukt und danach die Polynomdivision und die Mitternachtsformel.

Substitution

2x^4-4x^2+1=0
Substitution:x²=u
2u^2-4u+1=0
u_{1,2}=\frac{-(-4)\pm\sqrt[2]{(-4)^2-4\cdot1\cdot2}}{2\cdot2}
u_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt[2]{16-8}}{2\cdot2}
u_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt[2]{8}}{4}
u_{1}=1.7; u_{2}=0.29
Resubstitution:
x^2=1.7 \\ x_{1}= 1.3; x_{2}=-1.3 \\ x^2=0.29 \\  x_{3}=0.54; x_{4}=-0.54
L=\{1.3;-1.3;0.54;-0.54\}

Erklärung:

  1. Du musst das x^4 durch u^2 ersetzen (substituieren) und das x^2 durch u.
  2. Anwenden der Mitternachtsformel
  3. Resubstitution: Hierfür setzt du die beiden Ergebnisse jeweils mit x^2 gleich und ziehst die Wurzel.

Wichtig

  • Du hast x^4, x^2 und eine Zahl.
  • Hierfür benötigt man zum Lösen die Substitution.
  • Du kannst die Substitution zum Beispiel auch anwenden bei x^8 und x^4 – immer wenn die eine Hochzahl die Hälfte der anderen ist.

Kennst du Gleichungen vierten Grades, die du nicht lösen kannst oder bei denen du Schwierigkeiten beim Lösen hast? Schreib sie mir doch in den Kommentar. Gerne helfe ich dir auch über meine Online Nachhilfe oder meine Mathematik Nachhilfe vor Ort.

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