Das ist der zweite Beitrag aus der Reihe über Gleichungen:

  1. Gleichungen ersten Grades
  2. Gleichungen zweiten Grades
  3. Gleichungen dritten Grades
  4. Gleichungen vierten Grades
  5. Exponentialgleichungen
  6. Trigonometrische Gleichungen
  7. Bruchgleichungen
Definition
Gleichung zweiten Grades
Eine Gleichung, in welcher die Unbekannte x maximal als Hochzahl zweiten Grades erscheint, z.B. 3x^2+5x=8

Es gibt verschiedene Arten an Gleichungen zweiten Grades. Ich möchte dir einige Beispiele aufzeigen und die Schritte, die zum Lösen nötig sind.

reinquadratisch

3x^2-27 =0 |+27
3x^2=27 |:3
x^2=9|\sqrt[2]{}
x_{1}=3; x_{2}=-3
L=\{-3; 3\}

Erklärung:

  1. Das x^2 muss auf der linken Seite alleine stehen, hierfür addierst/subtrahierst du die Zahl ohne x (immer das Gegenteil verwenden, wenn da -3 steht, machst du +3) um sie auf die andere Seite der Gleichung zu bekommen.
  2. Du teilst durch die Zahl die vor dem x^2 stehst und schon hast du das x^2 alleine.
  3. Du ziehst auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel und bekommst 2 Lösungen (+ und -).

Wichtig

  • Bei dieser Art von Gleichung gibt es nur x^2 und eine Zahl.
  • Wenn du die Wurzel ziehst, gibt es das Ergebnis immer als positive UND negative Zahl, da (-3)^2 auch wieder 9 ergibt.
  • Aus negativen Zahlen kann man keine Wurzel ziehen – das Ergebnis ist dann eine leere Lösungsmenge.

durch ausklammern

2x^2-8x=0
x\cdot(2x-8)=0
x_{1}=0
2x-8=0 | +8
2x=8 | :2
x_{2}=4
L=\{0; 4\}

Erklärung:

  1. Du musst ein x ausklammern und kannst dann die beiden Teile getrennt betrachten.
  2. Die erste Lösung ist somit x=0 und mit der Klammer musst du dann noch weiterrechnen.
  3. Das x muss auf der linken Seite alleine stehen, hierfür addierst/subtrahierst du die Zahl ohne x, um sie auf die andere Seite der Gleichung zu bekommen.
  4. Du teilst durch die Zahl die vor dem x stehst und schon hast du das x alleine und die Gleichung gelöst.

Wichtig

  • Bei dieser Art von Gleichung hast du in jedem “Element” etwas mit x.
  • Du benötigst zum Lösen den Satz vom Nullprodukt.

biquadratisch

1x^2-6x+8=0
a=1; b=-6; c=8
x_{1,2}=\frac{-(-6)\pm\sqrt[2]{(-6)^2-4\cdot1\cdot8}}{2\cdot1}
x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt[2]{36-32}}{2\cdot1}
x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt[2]{4}}{2}
x_{1,2}=\frac{6\pm2}{2}
x_{1}=2; x_{2}=4
L=\{2; 4\}

Erklärung:

  1. Du setzt alles in die Mitternachts-/abc-Formel ein. Das a ist die Zahl mit Vorzeichen vor dem x^2, das b ist die Zahl mit Vorzeichen vor dem x und das c ist die Zahl mit Vorzeichen.
  2. Dann rechnest du diese aus und hast deine 2 Ergebnisse

Wichtig

  • Hier gibt es x^2, x und eine Zahl.
  • Hierfuer benoetigt man zum Loesen die ABC-Formel (Mitternachtsformel). Diese lernst du am besten auswendig.

    x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt[2]{b^2-4ac}}{2a}

Kennst du Gleichungen zweiten Grades, die du nicht lösen kannst oder bei denen du Schwierigkeiten beim Lösen hast? Schreib sie mir doch in den Kommentar. Gerne helfe ich dir auch über meine Online Nachhilfe oder meine Mathematik Nachhilfe vor Ort.

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