wichtige Ableitungen

Das ist der sechste Beitrag aus der Reihe über Ableitungen:

Die Ableitung $f'(x)$ ist die Steigung der Funktion $f(x)$ auch mit m bezeichnet. Damit kannst du ausrechnen wie die Steigung generell oder an einem bestimmten Punkt einer Funktion ist.

Brüche

$f(x)=\frac{1}{x^2}=x^{-2}$

$f(x)=-2x^{-3}=\frac{-2}{x^3}$
$f(x)=\frac{5}{x^7}=5x^{-7}$

$f(x)=-35x^{-8}=\frac{-35}{x^8}$

Vorgehensweise

das x im Nenner kannst du mit negativer Hochzahl nach oben in den Zähler holen
ableiten nach der Potenz- und Faktorregel
das x wieder mit positiver Hochzahl in den Nenner zurückschreiben

Wurzeln

$f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$

$f'(x)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
$f(x)=\sqrt[5]{x^3}=x^{\frac{3}{5}}$

$f'(x)=\frac{3}{5}x^{-\frac{2}{5}}=\frac{3}{5x^{\frac{2}{5}}}=\frac{3}{5\sqrt[5]{x^2}}$

Vorgehensweise

$\sqrt{x}$ bedeutet 2. Wurzel von x hoch 1 daher kann man es zu $x^{\frac{1}{2}}$ umschreiben
$\sqrt[5]{x^3}$ bedeutet 5. Wurzel von x hoch 3 daher kann man es zu $x^{\frac{3}{5}}$ umschreiben
Zahl auf der Wurzel in den Nenner und Hochzahl am x in den Zähler
ableiten nach der Potenz- und Faktorregel
das x wieder mit positiver Hochzahl in den Nenner zurückschreiben
und dann das x wieder als Wurzel schreiben (Zahl im Nenner auf die Wurzel und Zahl im Zähler als Hochzahl für das x)

Logarithmus

$f(x)=ln(x)$

$f'(x)=\frac{1}{x}$
$f(x)=ln(5x)=ln(5)+ln(x)$

$f'(x)=\frac{1}{x}$
$f(x)=ln(8x^2)$

$f'(x)=\frac{1}{8x^2}\cdot 16x=\frac{16x}{8x^2}=\frac{2}{x}$

Vorgehensweise

am besten lernst du auswendig, dass $ln(x)$ abgeleitet $\frac{1}{x}$ ist
Herleitung für die Ableitung von ln(x)
$ln(5x)$ kannst du auseinanderziehen in $ln(5)+ln(x)$ (siehe auch Logarithmengesetze)
$ln(5)$ ist eine Zahl und fällt in ihrer Ableitung weg und $ln(x)$ ist abgeleitet wieder $\frac{1}{x}$
$ln(8x^2)$ leitest du nach der Kettenregel ab

gut zu wissen

$f(x)=x=1 \cdot x$

$f'(x)=1$
$f(x)=5$

$f'(x)=0$
$f(x)=a$

$f'(x)=0$

jetzt bist du dran

$f(x)=ln(4x)$

$f(x)=\sqrt[7]{x^4}$

$f(x)=\frac{8}{x^7}$

$f(x)=ln(5x^3)$

$f(x)=5a$

Du kannst mir deine Lösungen gerne per E-Mail schicken oder sie in den Kommentar schreiben. Kennst du andere Ableitungen, die du nicht lösen kannst? Gerne helfe ich dir auch über meine Online Nachhilfe oder meine Mathematik Nachhilfe vor Ort.

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