Dies ist der 4. Artikel zur Kurvendiskussion

  1. Symmetrie
  2. Nullstellen und Schnittstellen mit der y-Achse
  3. Monotonie
  4. Extrempunkte
  5. Krümmungsverhalten
  6. Wendepunkte

Die Extrempunkte sind die Hoch- und Tiefpunkte einer Funktion. In den Aufgaben kann auch stehen, dass du die Punkte mit waagrechter Tangente berechnen sollst, denn da wo die Steigung Null ist, befinden sich die Extrempunkte.

Auch sind diese mit der Monotonie “verknüpft”, denn an den Stellen, an denen die Monotonie sich ändert, z.B. von fallend zu steigend, sind Extrempunkte. Für die Berechnung benötigst du f'(x) und f”(x).

Extrempunkte

Bedingungen:
f'(x)=0
f”(x)>0 –> Tiefpunkt
f”(x)<0 --> Hochpunkt

Beispiel

f(x)=x^3-3x^2

Erste Ableitung bilden: f'(x)=3x^2-6x

Zweite Ableitung bilden: f''(x)=6x-6

Erste Ableitung muss Null gesetzt werden:

f'(x)=0

3x^2-6x=0 | \text{ausklammern}

x\cdot{}(3x-6)=0 | zum Thema Gleichungen auflösen

x_{1}=0

3x-6=0 |+6|:3

x_{2}=2

Jetzt wissen wir, dass an den Stellen x_{1}=0 und x_{2}=2 Extrempunkte vorliegen, aber wir wissen noch nicht, ob Hoch-oder Tiefpunkt. Dies prüfst du mit Hilfe der 2. Ableitung.

f''(0)=-6<0 dies ist ein Hochpunkt

f''(2)=6>0 dies ist ein Tiefpunkt

Zu guter Letzt wollen wir noch wissen wie der y-Wert des Hoch- bzw. Tiefpunktes ist. Hierfür setzen wir unsere x-Werte in f(x) ein.

f(0)=0

f(2)=-4

Somit haben wir einen HP(0/0) und TP(2/-4)

Vorgehensweise

  • Erste Ableitung bilden
  • Zweite Ableitung bilden
  • f'(x)=0
  • Die Lösungen in die zweite Ableitung einsetzen, um zu berechnen, ob es Hoch- oder Tiefpunkt ist.
  • f'(x)<0 bedeutet Hochpunkt
  • f'(x)>0 bedeutet Tiefpunkt
  • Die Lösungen in f(x) einsetzen, um die y-Werte zu berechnen.
  • Hoch- und Tiefpunkte aufschreiben.

jetzt bist du dran

f(x)=x^2-5

f(x)=x^2-2x

f(x)=x^3-27

f(x)=x^2-x-2

Du kannst mir deine Lösungen gerne per E-Mail schicken oder sie in den Kommentar schreiben. Kennst du andere Aufgaben bei denen du Extrempunkte berechnen musst, die du nicht lösen kannst? Gerne helfe ich dir auch über meine Online Nachhilfe oder meine Mathematik Nachhilfe vor Ort.

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