Das ist der dritte Beitrag aus der Reihe über Gleichungen:

  1. Gleichungen ersten Grades
  2. Gleichungen zweiten Grades
  3. Gleichungen dritten Grades
  4. Gleichungen vierten Grades
  5. Exponentialgleichungen
  6. Trigonometrische Gleichungen
  7. Bruchgleichungen
Definition
Gleichung dritten Grades
Eine Gleichung, in welcher die Unbekannte x maximal als Hochzahl dritten Grades erscheint, z.B. -5x^3-5=4x

Es gibt verschiedene Arten an Gleichungen dritten Grades. Ich möchte dir einige Beispiele aufzeigen und die Schritte, die zum Lösen nötig sind.

x^3 und Zahl

2x^3=-16 |:2
x^3=-8 |\sqrt[3]{}
x_{1}=-2
L=\{-2\}

Erklärung:

  1. Du teilst durch die Zahl die vor dem x^3 stehst und schon hast du das x^3 alleine.
  2. Du ziehst auf beiden Seiten der Gleichung die dritte Wurzel und hast die Lösung gefunden.

Wichtig

  • Bei dieser Art von Gleichung gibt es nur x^3 und eine Zahl.
  • Wenn du die dritte Wurzel ziehst, gibt es nur ein Ergebnis.
  • Aus negativen Zahlen kann man auch die dritte Wurzel ziehen.

ausklammern

x^3-4x^2+2x=0
x\cdot(x^2-4x+2)=0
x_{1}=0
x^2-4x+2=0
x_{2,3}=\frac{-(-4)\pm\sqrt[2]{(-4)^2-4\cdot1\cdot2}}{2\cdot1}
x_{2,3}=\frac{4\pm\sqrt[2]{16-8}}{2\cdot1}
x_{2,3}=\frac{4\pm\sqrt[2]{8}}{2}
x_{2}=4.41; x_{3}=1.58
L=\{0;4.41; 1.58\}

Erklärung:

  1. Du musst ein x ausklammern und kannst dann die beiden Teile getrennt betrachten.
  2. Die erste Lösung ist somit x=0 und mit der Klammer musst du dann noch weiterrechnen.
  3. Die Lösungen der Klammer kannst du dann mit der Mitternachtsformel rechnen.

Wichtig

  • In jedem “Element” ist ein x.
  • Hierfür benötigt man zum Lösen den Satz vom Nullprodukt und danach die Mitternachts-/abc-Formel

Polynomdivison

x^3+6x^2+3x-10=0

Erste Lösung durch Ausprobieren oder mit dem GTR finden.

x_{1}=-5
\polyset{vars=x, style=C, delims={(}{)}} \polylongdiv{(x+5)(x^2+x-2)}{x+5}

1x^2+x-2=0
a=1; b=1; c=-2
x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt[2]{(1)^2-4\cdot1\cdot(-2)}}{2\cdot1}
x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt[2]{1+8}}{2\cdot1}
x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt[2]{9}}{2}
x_{1,2}=\frac{-1\pm3}{2}
x_{1}=-5; x_{2}=1; x_{3}=-2
L=\{-5;-2;1\}

Erklärung:

  1. Du musst ein x durch Ausprobieren oder mit Hilfe deines GTRs finden.
  2. Du schreibst die Gleichung auf und teilst sie durch “das Gegenteil” deiner Lösung – hast du eine negative Zahl musst du durch x+Zahl dividieren und andersrum.
  3. Jetzt teilst du das x^3 durch das x und schreibst das x^2 hinter das Gleichzeichen, dann schreibst du das x^3 mit Minus unter das x^3 auf der linken Seite und nimmst das x^2 mal mit der 5=5x^2 und schreibst dieses mit Minus neben das x^3 in der 2. Zeile und ziehst beides von einander ab. Es bleibt x^2 übrig und du holst jetzt das 3x nach unten und das Spiel geht wieder von vorne los.
  4. Dein Ergebnis setzt du in die Mitternachsformel ein und hast dann am Ende drei Ergebnisse.

Wichtig

  • Bei dieser Art von Gleichung hast du x^3, x^2, x und eine Zahl.
  • Du benötigst zum Lösen die Polynomdivision und die Mitternachtsformel.

Kennst du Gleichungen dritten Grades, die du nicht lösen kannst oder bei denen du Schwierigkeiten beim Lösen hast? Schreib sie mir doch in den Kommentar. Gerne helfe ich dir auch über meine Online Nachhilfe oder meine Mathematik Nachhilfe vor Ort.

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