Das ist der siebte Beitrag aus der Reihe über Gleichungen:

  1. Gleichungen ersten Grades
  2. Gleichungen zweiten Grades
  3. Gleichungen dritten Grades
  4. Gleichungen vierten Grades
  5. Exponentialgleichungen
  6. Trigonometrische Gleichungen
  7. Bruchgleichungen
Definition
Bruchgleichung
Eine Gleichung, in welcher die Unbekannte x in einem Bruch im Nenner vorkommt.

Es gibt verschiedene Arten von Bruchgleichungen. Ich möchte dir einige Beispiele aufzeigen und die Schritte, die zum Lösen nötig sind.

Bruch gleich Null

\frac{x-1}{x-3}=0
Definitionsmenge: \mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus \{3\}
\frac{x-1}{x-3}=0 |\cdot(x-3)
x-1=0 |+1
x=1
L=\{1\}

Erklärung:

  1. Definitionsmenge aufschreiben
  2. mit dem Nenner mal nehmen
  3. nach x auflösen (siehe Gleichungen ersten Grades)

Wichtig

  • Bei dieser Art von Gleichung gibt es einen Bruch mit x im Nenner und rechts vom Gleichheitszeichen eine Null.
  • Bei Bruchgleichungen musst du immer erst eine Definitionsmenge aufschreiben. Hier schliesst du die Zahlen aus, bei denen der Nenner Null wird, da man nicht durch Null teilen darf.
  • \mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus \{3\} liest du: “D ist gleich R ohne die 3″. \mathbb{D} = Definitionsmenge und \mathbb{R} = alle reelen Zahlen.
  • Bevor du die Lösungsmenge aufschreiben kannst, schau nochmal nach welche Zahl du in der Definitionsmenge ausgeschlossen hast, diese darf NICHT mit in die Lösungsmenge.
  • Tipp: Wenn rechts vom Gleichheitszeichen eine Null steht, kannst du einfach nur den Zähler abschreiben und diesen Null setzen und nach x auflösen.

Bruch gleich Zahl

\frac{10-x}{x-2}=4
Definitionsmenge: \mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus \{2\}
\frac{10-x}{x-2}=4 |\cdot(x-2)
10-x=4\cdot(x-2) |ausmultiplizieren
10-x=4x-8 |-4x; -10
-5x=-18 |:(-5)
x=\frac{18}{5}
L=\{\frac{18}{5}\}

Erklärung:

  1. Definitionsmenge aufschreiben
  2. mit dem Nenner mal nehmen, damit “rutscht” er auf der rechten Seite nach oben und verschwindet links.
  3. ausmultiplizieren, vereinfachen und nach x auflösen (siehe Gleichungen ersten Grades)

Wichtig

  • Bei dieser Art von Gleichung gibt es einen Bruch mit x im Nenner und rechts vom Gleichheitszeichen eine Zahl.
  • Bei Bruchgleichungen musst du immer erst eine Definitionsmenge aufschreiben. Hier schliesst du die Zahlen aus, bei denen der Nenner Null wird, da man nicht durch Null teilen darf.
  • \mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus \{2\} liest du: “D ist gleich R ohne die 2″. \mathbb{D} = Definitionsmenge und \mathbb{R} = alle reelen Zahlen.
  • Bevor du die Lösungsmenge aufschreiben kannst, schau nochmal nach welche Zahl du in der Definitionsmenge ausgeschlossen hast, diese darf NICHT mit in die Lösungsmenge.

Zwei Brüche gleich Zahl

\frac{3}{x}+\frac{4x}{x+3}=9
Definitionsmenge: \mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus \{0;-3\}
Hauptnenner (HN): x\cdot(x+3)
\frac{3}{x}+\frac{4x}{x+3}=9 |mit HN durchmultiplizieren
3\cdot(x+3)+4x\cdot x=9\cdotx\cdot(x+3) |ausmultiplizieren
3x+9+4x^2=9x^2+27 |-9x^2; |-27
-5x^2+3x-18=0
x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt[2]{3^2-4\cdot(-5)\cdot(-18)}}{2\cdot(-5)}
x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt[2]{9-360}}{-10}
x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt[2]{-351}}{-10}
Wurzel ist negativ –> nicht definiert
L=\{\}

Erklärung:

  1. Definitionsmenge aufschreiben
  2. Hauptnenner finden: beide Nenner mit “mal” dazwischen
  3. mit dem Hauptnenner multiplizieren: hierfür musst du das was es im Nenner vom Hauptnenner nicht gibt mit “Mal” im Zähler dazuschreiben und dafür kannst du dann den Nenner weglassen
  4. ausmultiplizieren, vereinfachen und nach x auflösen (siehe Gleichungen zweiten Grades)

Wichtig

  • Bei dieser Art von Gleichung gibt es zwei oder mehr Brüche mit x im Nenner und rechts vom Gleichheitszeichen eine Zahl.
  • Bei Bruchgleichungen musst du immer erst eine Definitionsmenge aufschreiben. Hier schliesst du die Zahlen aus, bei denen der Nenner Null wird, da man nicht durch Null teilen darf.
  • \mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus \{0;-3\} liest du: “D ist gleich R ohne die 0 und die -3″. \mathbb{D} = Definitionsmenge und \mathbb{R} = alle reelen Zahlen.
  • Wurzeln aus negativen Zahlen gibt es nicht.
  • Bevor du die Lösungsmenge aufschreiben kannst, schau nochmal nach welche Zahl du in der Definitionsmenge ausgeschlossen hast, diese darf NICHT mit in die Lösungsmenge.

Hauptnenner finden

\frac{4x-8}{x^2-4x+4}=\frac{x+4}{2x-4}-\frac{2x-1}{x-2}
Wenn du komplexe Terme im Nenner vorfindest, gehst du am besten so vor:
x^2-4x+4=(x-2)^2=(x-2)\cdot (x-2)
2x-4=2 \cdot (x-2)
x-2=x-2
\hrule
Hauptnenner: 2 \cdot(x-2) \cdot (x-2)=2 \cdot (x-2)^2

Erklärung:

  1. Du vereinfachst du Terme durch ausklammern oder binomische Formeln
  2. Im Hauptnenner muss dann jedes “Element” einmal vorkommen

Bruch mit e^x

e^{2x}-\frac{2}{e^x}=0
Definitionsmenge: \mathbb{D}=\mathbb{R}
e^{2x}-\frac{2}{e^x}=0|\cdot(e^x)
e^{3x}-2=0|+2
e^{3x}=2|ln()
3x=ln(2)|:3
x=\frac{ln(2)}{3}|:3
L=\{\frac{ln(2)}{3}\}

Erklärung:

  1. Definitionsmenge aufschreiben
  2. mit dem Nenner mal nehmen
  3. nach x auflösen (siehe Exponentialgleichungen)

Wichtig

  • Bei dieser Art von Gleichung gibt es einen Bruch mit e^x im Nenner.
  • Bei Bruchgleichungen musst du immer erst eine Definitionsmenge aufschreiben. Hier schliesst du die Zahlen aus, bei denen der Nenner Null wird, da man nicht durch Null teilen darf.
  • \mathbb{D}=\mathbb{R} liest du: “D ist gleich R “. \mathbb{D} = Definitionsmenge und \mathbb{R} = alle reelen Zahlen.
  • Bevor du die Lösungsmenge aufschreiben kannst, schau nochmal nach welche Zahl du in der Definitionsmenge ausgeschlossen hast, diese darf NICHT mit in die Lösungsmenge.
  • e^{-x}=\frac{1}{e^x}

Kennst du Bruchgleichungen, die du nicht lösen kannst oder bei denen du Schwierigkeiten beim Lösen hast? Schreib sie mir doch in den Kommentar. Gerne helfe ich dir auch über meine Online Nachhilfe oder meine Mathematik Nachhilfe vor Ort.

2 comments on “Bruchgleichungen

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