Kurvendiskussion: Wendepunkte

Dies ist der 6. Artikel zur Kurvendiskussion

Symmetrie
Nullstellen und Schnittstellen mit der y-Achse
Monotonie
Extrempunkte
Krümmungsverhalten
Wendepunkte

Die Wendepunkte einer Funktion, sind an den Stellen, in denen die Funktion von einer Rechts- in eine Linkskurve oder andersrum übergeht.

Daher sind diese auch mit dem Krümmungsverhalten „verküpft“. An den Stellen, an denen sich die Krümmung ändert, sind Wendepunkte. Du findest diese auch immer zwischen einem Hoch- und einem Tiefpunkt.

Für die Berechnung benötigst du f“(x) und f“'(x).

Wendepunkte

Bedingungen:

$f''(x)=0$

$f'''(x)\neq 0$ –> Wendepunkt

Beispiel

$f(x)=2x^3-5$

Erste Ableitung bilden: $f'(x)=6x^2$

Zweite Ableitung bilden: $f''(x)=12x$

Dritte Ableitung bilden: $f''(x)=12$

Zweite Ableitung muss Null gesetzt werden:

$f''(x)=0$

$12x=0 |:12$

$x=0 |$ zum Thema Gleichungen auflösen

$x_{1}=0$

Jetzt wissen wir, dass an den Stellen $x_{1}=0$ ein Wendepunkt vorliegen könnte.
Dies prüfst du mit Hilfe der 3. Ableitung.

$f'''(0)=12\neq0$ es ist ein Wendepunkt

Zu guter Letzt wollen wir noch wissen wie der y-Wert des Wendepunktes ist. Hierfür setzen wir unsere x-Werte in f(x) ein.

$f(0)=-5$

Somit haben wir einen WP(0/-5)

Vorgehensweise

Erste Ableitung bilden
Zweite Ableitung bilden
Dritte Ableitung bilden
$f''(x)=0$
Die Lösungen in die dritte Ableitung einsetzen, um zu berechnen, ob es ein Wendepunkt ist.
$f'''(x)\neq 0$ bedeutet Wendepunkt
$f'''(x)=0$ bedeutet kein Wendepunkt
Die Lösungen in $f(x)$ einsetzen, um die y-Werte zu berechnen.
Wendepunkte aufschreiben.

jetzt bist du dran

$f(x)=x^4-2x^2+5$

$f(x)=x^2-2x$

$f(x)=x^3-27$

$f(x)=10x^5+3x^3-10$

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2 comments on “Kurvendiskussion: Wendepunkte”

Lindner Franz says:

17. November 2017 at 12:41

4. Aufgabe die zweite Ableitung f´´(x) 200x³ +18x wie setzt man
die Ableitung 0 wenn zwei Unbekannte vorhanden?

Antworten
- admin says:
  
  19. November 2017 at 13:14
  
  Ein x ausklammern und dann Satz vom Nullprodukt
  (siehe auch hier: https://www.mathsparks.de/blog/gleichungen-dritten-grades/ )
  
  Antworten

MathSparks

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