Das ist der fünfte Beitrag aus der Reihe über Gleichungen:

  1. Gleichungen ersten Grades
  2. Gleichungen zweiten Grades
  3. Gleichungen dritten Grades
  4. Gleichungen vierten Grades
  5. Exponentialgleichungen
  6. Trigonometrische Gleichungen
  7. Bruchgleichungen
Definition
Exponentialgleichung
Eine Gleichung, in welcher die Unbekannte als Hochzahl erscheint, entweder a^x oder e^x, z.B. e^{2x}-e^x=5

Es gibt verschiedene Arten von Exponentialgleichungen. Ich möchte dir einige Beispiele aufzeigen und die Schritte, die zum Lösen nötig sind.

e^x und Zahl

e^{3x}=2 |ln
3x=ln(2) |:3
x_{1}=\frac{ln2}{3}
L=\{\frac{ln2}{3}\}

Erklärung:

  1. Du logarithmierst (ln) auf beiden Seiten. Dann “kürzen” sich e und ln auf der linken Seite, da ln(e)=1 und auf der rechten Seite steht ln(Zahl).
  2. Wenn du dann durch die Zahl vor dem x teilst, hast du deine Lösung.

Wichtig

  • Bei dieser Art von Gleichung gibt es nur e^x und eine Zahl.
  • lösbar durch Logarithmieren.
  • e und ln “kürzen” sich weg, da ln(e)=1

ausklammern

4e^{2x}-2e^{x}=0 | ausklammern
e^{x}\cdot(4e^{x}-2)=0
e^{x}=0 | ln
x=ln(0) nicht definiert!
4e^{x}-2=0 |+2
4e^{x}=2 |:4
e^{x}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} |ln
x_{1}=ln(\frac{1}{2})
L=\{ln(\frac{1}{2})\}

Erklärung:

  1. Du klammerst e^x aus und wendest dann den Satz vom Nullprodukt an, d.h. du teilst es auf und setzt beide Teile getrennt Null.
  2. e^x=0 ergibt keine Lösung, da der ln(0) nicht definiert ist.
  3. Bei dem anderen Teil bringst du die Zahl, die ohne e^x steht, mit plus oder minus auf die andere Seite und teilst dann durch die Zahl vor dem e^x.
  4. Du logarithmierst (ln) auf beiden Seiten. Dann “kürzen” sich e und ln auf der linken Seite, da ln(e)=1 und auf der rechten Seite steht ln(Zahl).

Wichtig

  • Bei dieser Art von Gleichung ist in jedem Element etwas mit e^x.
  • lösbar durch den Satz vom Nullprodukt
  • erst logarithmieren, wenn das e^x alleine steht
  • ln(0) ist nicht definiert

Substitution

e^{2x}-2e^{x}-3=0
Substitution: e^x=u
u^2-2u-3=0
u_{1,2}=\frac{-(-2)\pm\sqrt[2]{(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1}
u_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt[2]{4+12}}{2}
u_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt[2]{16}}{2}
u_{1}=3; u_{2}=-1
Resubstitution:
e^{x}=3 | ln
x=ln(3)
e^{x}=-1| ln
x=ln(-1) nicht definiert
L=\{ln(3)\}

Erklärung:

  1. Du musst das e^{2x} durch u^2 ersetzen (substituieren) und das e^x durch u.
  2. Anwenden der Mitternachtsformel
  3. Resubstitution: Hierfür setzt du die beiden Ergebnisse jeweils mit e^x gleich und logarithmierst.

Wichtig

  • Es gibt e^{2x}, e^x und eine Zahl.
  • lösbar durch Substitution
  • negative Zahlen kann man nicht logarithmieren

Bitte auswendig lernen

  • ln(e)=1
  • ln(1)=0
  • ln(0)=nicht definiert

Kennst du Exponentialgleichungen, die du nicht lösen kannst oder bei denen du Schwierigkeiten beim Lösen hast? Schreib sie mir doch in den Kommentar. Gerne helfe ich dir auch über meine Online Nachhilfe oder meine Mathematik Nachhilfe vor Ort.

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