Das ist der vierte Beitrag aus der Reihe über Gleichungen:

  1. Gleichungen ersten Grades
  2. Gleichungen zweiten Grades
  3. Gleichungen dritten Grades
  4. Gleichungen vierten Grades
  5. Exponentialgleichungen
  6. Trigonometrische Gleichungen
  7. Bruchgleichungen
Definition
Gleichung vierten Grades
Eine Gleichung, in welcher die Unbekannte x maximal als Hochzahl vierten Grades erscheint, z.B. 3x^2+5x^4=10

Es gibt verschiedene Arten an Gleichungen vierten Grades. Ich möchte dir einige Beispiele aufzeigen und die Schritte, die zum Lösen nötig sind.

x^4 und Zahl

-6x^4=-486 |:(-6)
x^4=81 |\sqrt[4]{}
x_{1}=3;x_{2}=-3
L=\{3;-3\}

Erklärung:

  1. Du teilst durch die Zahl die vor dem x^4 stehst und schon hast du das x^4 alleine.
  2. Du ziehst auf beiden Seiten der Gleichung die vierte Wurzel und bekommst zwei Lösungen (+ und -)

Wichtig

  • Bei dieser Art von Gleichung gibt es nur x^4 und eine Zahl.
  • Wenn du die vierte Wurzel ziehst, gibt es das Ergebnis immer als positive UND negative Zahl.
  • Aus negativen Zahlen kann man keine Wurzel ziehen – das Ergebnis ist dann eine leere Lösungsmenge.

ausklammern

x^4+6x^3+3x^2-10x=0 | ausklammern
x\cdot(x^3+6x^2+3x-10)=0
x_{1}=0
x^3+6x^2+3x-10=0

Erste Lösung durch Ausprobieren oder mit dem GTR finden.

x_{1}=-5
\polyset{vars=x, style=C, delims={(}{)}} \polylongdiv{(x+5)(x^2+x-2)}{x+5}

1x^2+x-2=0
a=1; b=1; c=-2
x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt[2]{(1)^2-4\cdot1\cdot(-2)}}{2\cdot1}
x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt[2]{1+8}}{2\cdot1}
x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt[2]{9}}{2}
x_{1,2}=\frac{-1\pm3}{2}
x_{1}=-5; x_{2}=1; x_{3}=-2
L=\{-5;-2;0;1\}

Erklärung:

  1. Du musst ein x ausklammern und kannst dann die beiden Teile getrennt betrachten.
  2. Die erste Lösung ist somit x=0 und mit der Klammer musst du dann noch weiterrechnen.
  3. Die Lösungen der Klammer kannst du dann mit der Polynomdivision rechnen.

Wichtig

  • In jedem „Element“ ist ein x.
  • Hierfür benötigt man zum Lösen den Satz vom Nullprodukt und danach die Polynomdivision und die Mitternachtsformel.

Substitution

2x^4-4x^2+1=0
Substitution:x^2=u
2u^2-4u+1=0
u_{1,2}=\frac{-(-4)\pm\sqrt[2]{(-4)^2-4\cdot1\cdot2}}{2\cdot2}
u_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt[2]{16-8}}{2\cdot2}
u_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt[2]{8}}{4}
u_{1}=1.7; u_{2}=0.29
Resubstitution:
x^2=1.7 \\ x_{1}= 1.3; x_{2}=-1.3 \\ x^2=0.29 \\  x_{3}=0.54; x_{4}=-0.54
L=\{1.3;-1.3;0.54;-0.54\}

Erklärung:

  1. Du musst das x^4 durch u^2 ersetzen (substituieren) und das x^2 durch u.
  2. Anwenden der Mitternachtsformel
  3. Resubstitution: Hierfür setzt du die beiden Ergebnisse jeweils mit x^2 gleich und ziehst die Wurzel.

Wichtig

  • Du hast x^4, x^2 und eine Zahl.
  • Hierfür benötigt man zum Lösen die Substitution.
  • Du kannst die Substitution zum Beispiel auch anwenden bei x^8 und x^4 – immer wenn die eine Hochzahl die Hälfte der anderen ist.

Kennst du Gleichungen vierten Grades, die du nicht lösen kannst oder bei denen du Schwierigkeiten beim Lösen hast? Schreib sie mir doch in den Kommentar. Gerne helfe ich dir auch über meine Online Nachhilfe oder meine Mathematik Nachhilfe vor Ort.

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10 comments on “Gleichungen vierten Grades

    • Danke dir Christian
      Das stand da auch, aber durch ein Update hat er es wohl verschluckt.
      Guter Hinweis – ich muss meine Beiträge wohl immer mal durchschauen

  • Hallo, ich stehe vor einer Gleichung, deren Lösung ich durch Ausprobieren zwar bereits kenne, aber ich würde wirklich gerne eine bessere Herangehensweise dazu kennen: 0=x^4-x^3-x^2-x-2
    Ich weiß, x=2 funktioniert, aber es ist irgendwie nicht zufriedenstellend, das nicht logisch herausfinden zu können…
    Liebe Grüße, Alina 🙂

  • wie kommt man von der Beispielgleichung

    X hoch 4 + 6 x hoch 3 + 3x hoch 2-10 gleich 0

    auf den Devisor (x+5) und X1 gleich -5

    bei der nachfolgenden Gleichung

    x hoch 3 + 6x hoch 2 + 3x – 10 gleich 0

    • Man kann systematisch raten. Die Gleichung
      x^3 + 6x^2 + 3x – 10 = 0
      kann man durch Ausprobieren aller Teiler der Konstanten -10 der Gleichung lösen, also kommen als ganzzahlige Lösungen nur +-1, +-2, +-5 und +-10 in Frage.
      Die Vorzeichenregel von Descartes sagt, daß wir in der Folge der Koeffizienten +1, +6, +3, -10 einen Vorzeichenwechsel und damit eine positive Nullstelle haben. Diese kann man leichter finden, wenn man zu der Gleichung 10 addiert:
      x^3 + 6x^2 + 3x = 10
      Man sieht leicht, daß x = 1 eine Lösung ist, da
      1 + 6 + 3 = 10 ist.
      Jetzt könnte man eine Polynomdivision durch den zugehörigen Linearfaktor (x – 1) machen, aber man kann auch weiterraten, um auch negative Lösungen zu finden. Dazu substituiert man t = -x bzw. x = -t und erhält die Gleichung
      (-t)^3 + 6(-t)^2 + 3(-t) – 10 = 0
      -t^3 + 6t^2 – 3t – 10 = 0
      Mit (-1) malnehmen:
      t^3 – 6t^2 + 3t + 10 = 0
      Und 6t^2 addieren:
      t^3 + 3t + 10 = 6t^2
      Hier findet man t = 2 und t = 5 als Lösungen, denn
      2^3 + 3*2 + 10 = 6*4
      8 + 6 + 10 = 24
      bzw.
      5^3 + 3*5 + 10 = 6*5^2
      125 + 15 + 10 = 6*25
      150 = 150
      Da laut Substitution x = -t gilt, sind die x-Lösungen einfach das Negative der t-Lösungen, d.h. t = 2 und t = 5 bedeuten, daß x = -2 und x = -5 weitere Lösungen der ursprünglichen Gleichung sind. Da wir oben bereits x = 1 als Lösung gefunden hatten, lauten die drei Lösungen also
      x = +1, x = -2 und x = -5. Mehr als drei Lösungen kann es nicht geben, da der Grad 3 ist. Somit haben wir alle Lösungen gefunden; die Lösungsmenge ist L = {+1, -2, -5}.

  • Alinas Beispiel vom 22. November 2022 ist eine nicht-triviale (allgemeine, mit allen Potenzen von x^0 bis x^4) Gleichung 4. Grades, auch quartische Gleichung genannt. Diese kann man mit schulischen Methoden meist nur durch Erraten ganzzahliger Lösungen (falls vorhanden!) und Polynomdivision lösen.

    Es gibt aber auch allgemeine Lösungsformeln für Gleichungen 3. und 4. Grades (kubische und quartische Gleichungen), analog zur „Mitternachtsformel“ für Gleichungen 1. und 2. Grades (lineare und quadratische Gleichungen). Das ist mein Spezialgebiet, und ich könnte Alinas Beispiel Schritt für Schritt mit dieser allgemeine Methode lösen, was aber recht ausführlich wäre.

    • das klingt sehr spannend. Wäre toll, wenn du es löst, wenn du Lust hast. Gern kannst du die Lösung auch als Email senden, wenn das einfacher ist.

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