Wenn du die Aufgabe hast eine Kurvendiskussion einer Funktion durchzuführen, dann solltest du folgende Punkte durchgehen/rechnen:

  1. Als erstes empfehle ich dir die ersten drei Ableitungen zu bilden, damit du die gleich oben stehen hast und darauf zugreifen kannst
  2. Du untersuchst die Symmetrie der Funktion.Liegt eine Achsen- oder Punktymmetrie vor? Oder liegt garkeine Symmetrie vor?
  3. Danach untersuchst du die Funktion auf Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse) und Schnittpunkte mit der y-Achse.
  4. Als nächstes schaust du nach der Monotonie. In welchen Intervallen steigt und in welchen fällt die Funktion?
  5. Danach prüfst du, ob Extremstellen vorliegen. Wo ist die Kurve am Höchsten und wo am Tiefsten? Oder gibt es keine Hoch- und Tiefpunkte? Tipp: An den Stellen, an denen sich die Monotonie ändert, liegen Extremstellen vor.
  6. Jetzt ist das Krümmungsverhalten dran. An welchen Stellen ist die Kurve rechts und wo links gekrümmt?
  7. Und zum guten Schluss prüfst du noch, ob es Wendestellen gibt. Tipp: An den Stellen, an denen sich die Krümmung ändert, liegen Wendestellen vor.

Beispiel:
Rechne es doch zuerst selber durch und vergleiche dann mit meiner Lösung.
f(x) = x³-4x

  1. f'(x)=3x²-4
    f''(x)=6x
    f'''(x)=6
  2. Es liegen nur ungerade Hochzahlen vor und keine Zahl am Ende, damit haben wir eine Punktsymmetrie zum Ursprung.
  3. Schnittpunkt mit der y-Achse: f(0)=0^3-4\cdot0=0 S(0/0)
    Schnittpunkt mit der x-Achse: f(x)=0
    x³-4x=0 | x ausklammern
    x(x^2-4)=0
    x=0 oder x²-4=0|+4
    x^2=4|\sqrt
    x=2 oder x=-2
    N_{1}(0/0), N_{2}(2/0), N_{3}(-2/0)
  4. Monotonie: f'(x)=0
    3x²-4=0|+4
    3x^2=4|:3
    x²=\frac{4}{3}|\sqrt
    x=\sqrt{\frac{4}{3}} oder x=-\sqrt{\frac{4}{3}}
    I_{1}=(-\infty;-\sqrt{\frac{4}{3}}]
    Eine Zahl auf dem Intervall in die erste Ableitung einsetzen:
    f'(-5)=3\cdot(-5)²-4=71>0 d.h. die Funktion ist auf diesem Intervall monoton steigend
    I_{2}=[-\sqrt{\frac{4}{3}};\sqrt{\frac{4}{3}}]
    Eine Zahl auf dem Intervall in die erste Ableitung einsetzen:
    f'(0)=3\cdot(0)²-4=-4<0 d.h. die Funktion ist auf diesem Intervall monoton fallend
    I_{3}=[\sqrt{\frac{4}{3}};\infty)
    Eine Zahl auf dem Intervall in die erste Ableitung einsetzen:
    f'(5)=3\cdot(5)²-4=71<0 d.h. die Funktion ist auf diesem Intervall monoton steigend
  5. Extremstellen: f'(x)=0 und f''(x)>0–> Tiefpunkt oder f''(x)<0–> Hochpunkt
    3x²-4=0|+4
    3x^2=4|:3
    x²=\frac{4}{3}|\sqrt
    x=\sqrt{\frac{4}{3}} oder x=-\sqrt{\frac{4}{3}}
    f''(x)=6x
    f''(\sqrt{\frac{4}{3}})=6\cdot\sqrt{\frac{4}{3}}>0 –> Tiefpunkt
    f''(-\sqrt{\frac{4}{3}})=6\cdot(-\sqrt{\frac{4}{3}})<0 –> Hochpunkt
    y-Werte berechnen:
    f(\sqrt{\frac{4}{3}})=3\cdot(\sqrt{\frac{4}{3}})²-4=3\cdot \frac{4}{3}-4=0
    TP(\sqrt{\frac{4}{3}}/0)
    f(-\sqrt{\frac{4}{3}})=3\cdot(-\sqrt{\frac{4}{3}})²-4=3\cdot \frac{4}{3}-4=0
    HP(-\sqrt{\frac{4}{3}}/0)
  6. Krümmungsverhalten: f''(x)=0
    6x=0|:6
    x=0
    I_{1}=(-\infty;0]
    Eine Zahl auf dem Intervall in die zweite Ableitung einsetzen:
    f''(-1)=6\cdot(-1)=-6<0 d.h. die Funktion ist auf diesem Intervall rechtsgekrümmt
    I_{2}=(0;\infty]
    Eine Zahl auf dem Intervall in die zweite Ableitung einsetzen:
    f''(1)=6\cdot1=6>0 d.h. die Funktion ist auf diesem Intervall linksgekrümmt
  7. Wendepunkte: f''(x)=0 und f'''(x)\neq 0
    6x=0|:6
    x=0
    f'''(0)=6 –>Es ist ein Wendepunkt
    y-Wert berechnen:
    f(0)=3\cdot0^2-4=-4
    WP(0/-4)

Hast du Fragen zur Kurvendiskussion, dann schreib mir gerne eine E-Mail oder schreibe sie in den Kommentar. Gerne helfe ich dir auch über meine Online Nachhilfe oder meine Mathematik Nachhilfe vor Ort.

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