Das ist der siebte Beitrag aus der Reihe über Ableitungen:

  1. Potenz- und Faktorregel
  2. Summenregel
  3. Produktregel
  4. Quotientenregel
  5. Kettenregel
  6. wichtige Ableitungen
  7. Funktionsscharen
  8. Höhere Ableitungen
  9. Ableitungen aus Prüfungen

Die Ableitung f'(x) ist die Steigung der Funktion f(x) auch mit m bezeichnet. Damit kannst du ausrechnen wie die Steigung generell oder an einem bestimmten Punkt einer Funktion ist.

Funktionsschar

Eine Funktionssschar ist eine Funktion, die zusätzlich zum x noch einen sogenannten Scharparameter enthält. Für den Scharparameter kann man dann alle reelen Zahlen einsetzen und bekommt Funktionen, die alle ähnlich aussehen.
f_{t}(x)=tx^2-2tx+5

Potenz-, Faktor- und Summenregel

f_{t}(x)=tx^2-2tx+5

f_{t}'(x)=2tx-2t

Vorgehensweise

  • Der Scharparameter t wird wie eine Zahl behandelt.
  • du leitest es nach der Potenz- und Faktorregel und der Summenregel ab
  • x^2 wird abgeleitet zu 2x und dann hängst du das t wieder dran. Wäre es eine Zahl würdest du es nach der Faktorregel verrechnen.
  • 2tx wird abgeleitet zu 2t: 2 und t sind die Zahlen und diese bleiben beim Ableiten stehen und das x fällt weg

Produktregel

f_{t}(x)=e^{tx}\cdot(2x^2+t)

f_{t}'(x)=te^{tx}\cdot(2x^2+t)+e^{tx}\cdot 4x

Vorgehensweise

  • Der Scharparameter t wird wie eine Zahl behandelt.
  • du leitest es nach der Produktregel ab
  • e^{tx} wird abgeleitet zu te^{tx}, da tx abgeleitet t ist und dieses vor das e geschrieben wird.
  • 2x^2+t wird abgeleitet zu 4x, da das t eine Zahl ist und in der Ableitung wegfällt.

Kettenregel

f_{t}(x)=(tx^3+5tx)^7

f_{t}'(x)=7(tx^3+5tx)^6 \cdot(3tx^2+5t)

Vorgehensweise

  • Der Scharparameter t wird wie eine Zahl behandelt.
  • du leitest es nach der Kettenregel ab
  • tx^3 wird abgeleitet zu 3tx^2
  • 5tx wird abgeleitet zu 5t, da das t wie eine Zahl behandelt wird.

Ortskurve

Als Bonus möchte ich dir noch erklären wie du eine Ortskurve erstellst. Es passt thematisch nicht ganz zu den Ableitungen, gehört aber zum Thema Funktionsscharen.

Die Ortskurve ist die Kurve auf der alle Extrempunkte, Wendepunkte oder Nullstellen einer Schar liegen. Du berechnest also eine neue Funktion.

EP(-0.5t/-0.25t^2+1)

Du schreibst dir den Extremwert als x und y Wert raus.

x=-0.5t

y=-0.25t^2+1

Jetzt stellst du den x Wert nach dem Scharparameter – hier t – um.

x=-0.5t|:-0.5

t=-2x

Diesen setzt du dann in den y Wert ein und vereinfachst es.

y=-0.25(-2x)^2+1

y=-0.25\cdot 4x^2+1

y=-x^2+1

Das ist deine Ortskurve.

jetzt bist du dran

f(x)=10tx^5-8tx+t

f(x)=(25tx^8-tx)^9

f(x)=sin(tx)\cdot e^{4tx}

Ortskurve bestimmen:EP(\frac{2}{3}t/\frac{4}{9}t^2)

Du kannst mir deine Lösungen gerne per E-Mail schicken oder sie in den Kommentar schreiben. Kennst du andere Ableitungen, die du nicht lösen kannst? Gerne helfe ich dir auch über meine Online Nachhilfe oder meine Mathematik Nachhilfe vor Ort.