Das ist der fünfte Beitrag aus der Reihe über Ableitungen:

  1. Potenz- und Faktorregel
  2. Summenregel
  3. Produktregel
  4. Quotientenregel
  5. Kettenregel
  6. wichtige Ableitungen
  7. Funktionsscharen ableiten
  8. Höhere Ableitungen
  9. Ableitungen aus Prüfungen

Die Ableitung f'(x) ist die Steigung der Funktion f(x) auch mit m bezeichnet. Damit kannst du ausrechnen wie die Steigung generell oder an einem bestimmten Punkt einer Funktion ist.

Kettenregel

f(x)=u(v(x))
f'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x)

Ganzrationale Funktion

f(x)=(3x+7)^4

äußere Funktion: u(v)=v^4

äußere Ableitung:u'(v)=4v^3

innere Funktion:v(x)=3x+7

innere Ableitung: v'(x)=3

f'(x)=4(3x+7)^3 \cdot 3

=12(3x+7)^3

Vorgehensweise

  • entweder überlegst du dir was die innere und die äußere Funktion ist und leitest beide ab und setzt es nach f'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x)zusammen
  • ODER du merkst dir folgendes:
  • Hochzahl nach vorne
  • Klammer abschreiben
  • Hochzahl MINUS 1
  • hinter die Klammer: “Mal” die Ableitung der Klammer – ableiten nach der Potenz- und Faktorregel
  • vereinfachen

Trigonometrische Funktion

f(x)=sin(5x^2+4)

äußere Funktion: u(v)=sin(v)

äußere Ableitung:u'(v)=cos(v)

innere Funktion:v(x)=5x^2+4

innere Ableitung: v'(x)=10x

f'(x)=cos(5x^2+4) \cdot 10x

Vorgehensweise

  • entweder überlegst du dir was die innere und die äußere Funktion ist und leitest beide ab und setzt es nach f'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x)zusammen
  • ODER du merkst dir folgendes:
  • sin bzw. cos ableiten – ableiten nach der Potenz- und Faktorregel
  • Klammer abschreiben
  • hinter die Klammer: “Mal” die Ableitung der Klammer – ableiten nach der Potenz- und Faktorregel
  • vereinfachen

Exponential Funktion

f(x)=5e^{3x^2+2}

äußere Funktion: u(v)=5e^v

äußere Ableitung:u'(v)=5e^v

innere Funktion:v(x)=3x^2+2

innere Ableitung: v'(x)=6x

f'(x)=5e^{3x^2+2} \cdot 6x

f'(x)=30x \cdot e^{3x^2+2}

Vorgehensweise

  • entweder überlegst du dir was die innere und die äußere Funktion ist und leitest beide ab und setzt es nach f'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x)zusammen
  • ODER du merkst dir folgendes:
  • e hoch die Hochzahl bleibt gleich – es verändert sich NICHTS
  • “Mal” die Ableitung der Hochzahl – ableiten nach der Potenz- und Faktorregel
  • vereinfachen

Wurzel Funktion

f(x)=\sqrt{12x-3}=(12x-3)^{\frac{1}{2}}

äußere Funktion: u(v)=\sqrt{v}=v^{\frac{1}{2}}

äußere Ableitung:u'(v)=\frac{1}{2}v^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{v}}

innere Funktion:v(x)=12x-3

innere Ableitung: v'(x)=12

f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{12x-3}} \cdot 12

f'(x)=\frac{12}{2\sqrt{12x-3}}

Vorgehensweise

  • entweder überlegst du dir was die innere und die äußere Funktion ist und leitest beide ab und setzt es nach f'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x)zusammen
  • ODER du merkst dir folgendes:
  • Wurzel umschreiben (mit Hochzahl \frac{1}{2}
  • Hochzahl nach vorne
  • Klammer abschreiben
  • Hochzahl MINUS 1
  • hinter die Klammer: “Mal” die Ableitung der Klammer – ableiten nach der Potenz- und Faktorregel
  • vereinfachen

Anwendung

  • Klammern mit Hochzahl
  • sin/cos, bei denen in der Klammer mehr steht als nur x
  • e mit mehr als x in der Hochzahl
  • Wurzeln

jetzt bist du dran

f(x)=e^{24x^3-4}

f(x)=(15x^3+x)^6

f(x)=\sqrt{4-x^2}

f(x)=cos(5x-3x^2)

Du kannst mir deine Lösungen gerne per E-Mail schicken oder sie in den Kommentar schreiben. Kennst du andere Ableitungen, die du nicht lösen kannst? Gerne helfe ich dir auch über meine Online Nachhilfe oder meine Mathematik Nachhilfe vor Ort.

2 comments on “Ableitungen: Kettenregel

  • f(x)= e^24x^3-4
    f´(x)=e^24x^3-4 x72x²
    f´(x)=72x² x e^24x^3 -4

    f(x)=(15x³+x)^6
    f´(x)=6(15^3+x)^5 x 45x²+1

    f(x)= sqr4-x²
    f´(x)= (4-x²)^1\2
    f´(x)=1\2(4-x²)^-1\2
    f´(x)= 1\2sqr4-x² x(-2x)
    f´(x)= -2x\2sqr4-x²

    f(x)= cos(5x-3x²)
    f´(x)= -sin(5x-3x²) x 5-6x

    • Bei der 2. und 4. die innere Ableitung in Klammer setzen.
      Ansonsten stimmt es – es ist nur schwer das mathematische ohne LaTex darzustellen.

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