5. Mai 2016  |    Hinterlasse einen Kommentar

Das ist der achte Beitrag aus der Reihe über Ableitungen:

  1. Potenz- und Faktorregel
  2. Summenregel
  3. Produktregel
  4. Quotientenregel
  5. Kettenregel
  6. wichtige Ableitungen
  7. Funktionsscharen
  8. Höhere Ableitungen
  9. Ableitungen aus Prüfungen

Die Ableitung f'(x) ist die Steigung der Funktion f(x) auch mit m bezeichnet. Damit kannst du ausrechnen wie die Steigung generell oder an einem bestimmten Punkt einer Funktion ist.

Höhere Ableitungen

Diese sind die zweite und dritte Ableitung.
f''(x) und f'''(x)

Potenz-, Faktor- und Summenregel

f(x)=8x^3-2x^2+5

f'(x)=24x^2-4x

f''(x)=48x-4

f'''(x)=48

Vorgehensweise

  • Du leitest 3x hintereinander ab.
  • von f(x) durch ableiten zu f'(x)
  • dann von f'(x) durch ableiten zu f''(x)
  • dann von f''(x) durch ableiten zu f'''(x)
  • Du leitest es nach der Potenz- und Faktorregel und der Summenregel ab

Produktregel

f(x)=e^{2x}\cdot sin(x)

f'(x)=2e^{2x}\cdot sin(x)+e^{2x}\cdot cos(x)

=e^{2x} \cdot(2sin(x)+cos(x))

f''(x)=2e^{2x} \cdot(2sin(x)+cos(x))+e^{2x}\cdot(2cos(x)-sin(x))

=e^{2x} \cdot(4sin(x)+2cos(x)+2cos(x)-sin(x))

=e^{2x} \cdot(3sin(x)+4cos(x))

f'''(x)=2e^{2x}\cdot(3sin(x)+4cos(x))+e^{2x} \cdot(3cos(x)-4sin(x))

=e^{2x}\cdot(6sin(x)+8cos(x)+3cos(x)-4sin(x))

=e^{2x}\cdot(2sin(x)+11cos(x))

Vorgehensweise

  • Du leitest 3x hintereinander ab.
  • nach dem Ableiten klammerst du am besten den gemeinsamen Faktor aus, bevor du die nächste Ableitung bestimmst, da du sonst 2 Produktregeln hast.
  • du leitest es nach der Produktregel ab

Kettenregel

f(x)=(10x+4)^4

f'(x)=4(10x+4)^3 \cdot10

=40(10x+4)^3

f''(x)=120(10x+4)^2 \cdot 10

=1200(10x+4)^2

f'''(x)=2400(10x+4)\cdot 10

=24000(10x+4)

Vorgehensweise

  • Du leitest 3x hintereinander ab.
  • nach dem Ableiten fasst du am besten so weit zusammen wie es geht, bevor du die nächste Ableitung bestimmst.
  • du leitest es nach der Kettenregel ab

jetzt bist du dran

f(x)=(3x-5)^5

f(x)=13x^3-2x^5+2x-3+e^{3x}

f(x)=cos(x) \cdot (2x^3-x^2+1)

Du kannst mir deine Lösungen gerne per E-Mail schicken oder sie in den Kommentar schreiben. Kennst du andere Ableitungen, die du nicht lösen kannst? Gerne helfe ich dir auch über meine Online Nachhilfe oder meine Mathematik Nachhilfe vor Ort.