Ableitungen: Quotientenregel

Das ist der vierte Beitrag aus der Reihe über Ableitungen:

Die Ableitung $f'(x)$ ist die Steigung der Funktion $f(x)$ auch mit m bezeichnet. Damit kannst du ausrechnen wie die Steigung generell oder an einem bestimmten Punkt einer Funktion ist.

Quotientenregel

$f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$

$f'(x)=\frac{u'(x)\cdot{}v(x)-u(x) \cdot{}v'(x)}{v(x)^2}$

1. Beispiel

$f(x)=\frac{4x^3}{2sin(x)}$

$f'(x)=\frac{12x^2\cdot{}2sin(x)-4x^3\cdot{}2cos(x)}{(2sin(x))^2}$

$=\frac{24x^2\cdot{}sin(x)-8x^3\cdot{}cos(x)}{4sin(x)^2}$

Vorgehensweise

Zähler ableiten mal Nenner stehen lassen MINUS
Zähler stehen lassen mal Nenner ableiten
Bruchstrich
Nenner hoch 2
ableiten nach der Potenz- und Faktorregel
vereinfachen

2. Beispiel

$f(x)=\frac{3x}{2x-5}$

$f'(x)=\frac{3\cdot{}(2x-5)-3x\cdot{}2}{(2x-5)^2}$

$=\frac{6x-15-6x}{(2x-5)^2}$

$=\frac{-15}{(2x-5)^2}$

Vorgehensweise

Zähler ableiten mal Nenner stehen lassen MINUS
Zähler stehen lassen mal Nenner ableiten
Bruchstrich
Nenner hoch 2
ableiten nach der Potenz- und Faktorregel
vereinfachen

3. Beispiel

$f(x)=\frac{e^x-5}{3cos(x)}$

$f'(x)=\frac{e^x\cdot3cos(x)-(e^x-5)\cdot{}-3sin(x)}{(3cos(x))^2}$

$f'(x)=\frac{e^x\cdot3cos(x)+(e^x-5)\cdot{}3sin(x)}{9cos(x)^2}$

Vorgehensweise

Zähler ableiten mal Nenner stehen lassen MINUS
Zähler stehen lassen mal Nenner ableiten
Bruchstrich
Nenner hoch 2
ableiten nach der Potenz- und Faktorregel
vereinfachen

Anwendung

immer wenn du eine Funktion hast mit einem Bruch, in dem das x im Nenner auftaucht – diese wird auch gebrochenrationale Funktion genannt

Kennst du Dorfuchs? Er hat ein Lied zur Quotientenregel mit Herleitung gesungen.

jetzt bist du dran

$f(x)=\frac{10x}{12x-20}$

$f(x)=\frac{x}{10-e^x}$

$f(x)=\frac{10sin(x)}{4x+3}$

$f(x)=\frac{3cos(x)}{e^x+1}$

Du kannst mir deine Lösungen gerne per E-Mail schicken oder sie in den Kommentar schreiben. Kennst du andere Ableitungen, die du nicht lösen kannst? Gerne helfe ich dir auch über meine Online Nachhilfe.

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2 comments on “Ableitungen: Quotientenregel”

Lindner Franz sagt:

11. November 2017 um 16:58

f´(x) = 10 x (12x-20) – 10x x 12 /(12x-20)²
120x – 200 – 120x/144x²-480x +400
-200/144x²+480x+400
1/144x²-480x+2
f`(x)=
1 x 10-e^x – x x (-e^x)/(10-e^x)^2
10 – e^x + xe^x/100 – e^x^2
f`(x)= 10cos(x) x 4x+3 – 10sin(x) x 4/
(4x+3)²
10cos(x) x 4x+3 – 40sin(x)/16x²+24x+9
f`(x)= -3sin(x) x e^x+1 – 3cos(x) x e^x/(e^x+1)^2
-3sin(x) – 3cos(x) x e^x/e^x+1
-3sin(x)-3cos(x)

Antworten
admin sagt:

14. November 2017 um 8:48

Hallo Franz,
toll, dass du die Aufgaben gelöst hast – hier meine Anmerkungen:

zu1.
Am Schluss darf man die -200 nicht kürzen
Ich würde es als -200/(12x-20)^2 stehen lassen.

Zu2. da fehlt im letzten Schritt beim Binom das doppelte gemischte Produkt
(10-e^x+xe^x)/(10-e^x)^2

Zu 3. mit Klammer 10cos(x) x (4x+3) – 10sin(x) x 4/
(4x+3)²

Zu 4. auch mit Klammer f`(x)= -3sin(x) x (e^x+1) – 3cos(x) x e^x/(e^x+1)^2

Gruß Meike

Antworten

1. Beispiel

Vorgehensweise

2. Beispiel

Vorgehensweise

3. Beispiel

Vorgehensweise

Anwendung

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