7. April 2016  |    2 Comments

Das ist der vierte Beitrag aus der Reihe über Ableitungen:

  1. Potenz- und Faktorregel
  2. Summenregel
  3. Produktregel
  4. Quotientenregel
  5. Kettenregel
  6. wichtige Ableitungen
  7. Funktionsscharen ableiten
  8. Höhere Ableitungen
  9. Ableitungen aus Prüfungen

Die Ableitung f'(x) ist die Steigung der Funktion f(x) auch mit m bezeichnet. Damit kannst du ausrechnen wie die Steigung generell oder an einem bestimmten Punkt einer Funktion ist.

Quotientenregel

f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}
f'(x)=\frac{u'(x)\cdot{}v(x)-u(x) \cdot{}v'(x)}{v(x)^2}

1. Beispiel

f(x)=\frac{4x^3}{2sin(x)}

f'(x)=\frac{12x^2\cdot{}2sin(x)-4x^3\cdot{}2cos(x)}{(2sin(x))^2}

=\frac{24x^2\cdot{}sin(x)-8x^3\cdot{}cos(x)}{4sin(x)^2}

Vorgehensweise

  • Zähler ableiten mal Nenner stehen lassen MINUS
  • Zähler stehen lassen mal Nenner ableiten
  • Bruchstrich
  • Nenner hoch 2
  • ableiten nach der Potenz- und Faktorregel
  • vereinfachen

2. Beispiel

f(x)=\frac{3x}{2x-5}

f'(x)=\frac{3\cdot{}(2x-5)-3x\cdot{}2}{(2x-5)^2}

=\frac{6x-15-6x}{(2x-5)^2}

=\frac{-15}{(2x-5)^2}

Vorgehensweise

  • Zähler ableiten mal Nenner stehen lassen MINUS
  • Zähler stehen lassen mal Nenner ableiten
  • Bruchstrich
  • Nenner hoch 2
  • ableiten nach der Potenz- und Faktorregel
  • vereinfachen

3. Beispiel

f(x)=\frac{e^x-5}{3cos(x)}

f'(x)=\frac{e^x\cdot3cos(x)-(e^x-5)\cdot{}-3sin(x)}{(3cos(x))^2}

f'(x)=\frac{e^x\cdot3cos(x)+(e^x-5)\cdot{}3sin(x)}{9cos(x)^2}

Vorgehensweise

  • Zähler ableiten mal Nenner stehen lassen MINUS
  • Zähler stehen lassen mal Nenner ableiten
  • Bruchstrich
  • Nenner hoch 2
  • ableiten nach der Potenz- und Faktorregel
  • vereinfachen

Anwendung

  • immer wenn du eine Funktion hast mit einem Bruch, in dem das x im Nenner auftaucht – diese wird auch gebrochenrationale Funktion genannt

Kennst du Dorfuchs? Er hat ein Lied zur Quotientenregel mit Herleitung gesungen.

jetzt bist du dran

f(x)=\frac{10x}{12x-20}

f(x)=\frac{x}{10-e^x}

f(x)=\frac{10sin(x)}{4x+3}

f(x)=\frac{3cos(x)}{e^x+1}

Du kannst mir deine Lösungen gerne per E-Mail schicken oder sie in den Kommentar schreiben. Kennst du andere Ableitungen, die du nicht lösen kannst? Gerne helfe ich dir auch über meine Online Nachhilfe.

Buchtipp

Ich habe ein Buch zum Abistoff der Mathematik geschrieben.
Es ist ähnlich aufgebaut wie der Blogartikel – Beispiele, Schritt für Schritt Anleitungen (Kochrezepte), Tipps und Tricks und dann am Ende jeder Lerneinheit Übungen mit ausführlichen Lösungen.
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2 comments on “Ableitungen: Quotientenregel”

  • f´(x) = 10 x (12x-20) – 10x x 12 /(12x-20)²
    120x – 200 – 120x/144x²-480x +400
    -200/144x²+480x+400
    1/144x²-480x+2
    f`(x)=
    1 x 10-e^x – x x (-e^x)/(10-e^x)^2
    10 – e^x + xe^x/100 – e^x^2
    f`(x)= 10cos(x) x 4x+3 – 10sin(x) x 4/
    (4x+3)²
    10cos(x) x 4x+3 – 40sin(x)/16x²+24x+9
    f`(x)= -3sin(x) x e^x+1 – 3cos(x) x e^x/(e^x+1)^2
    -3sin(x) – 3cos(x) x e^x/e^x+1
    -3sin(x)-3cos(x)

    Antworten

  • Hallo Franz,
    toll, dass du die Aufgaben gelöst hast – hier meine Anmerkungen:

    zu1.
    Am Schluss darf man die -200 nicht kürzen
    Ich würde es als -200/(12x-20)^2 stehen lassen.

    Zu2. da fehlt im letzten Schritt beim Binom das doppelte gemischte Produkt
    (10-e^x+xe^x)/(10-e^x)^2

    Zu 3. mit Klammer 10cos(x) x (4x+3) – 10sin(x) x 4/
    (4x+3)²

    Zu 4. auch mit Klammer f`(x)= -3sin(x) x (e^x+1) – 3cos(x) x e^x/(e^x+1)^2

    Gruß Meike

    Antworten

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