Das ist der vierte Beitrag aus der Reihe über Ableitungen:

  1. Potenz- und Faktorregel
  2. Summenregel
  3. Produktregel
  4. Quotientenregel
  5. Kettenregel
  6. wichtige Ableitungen
  7. Funktionsscharen ableiten
  8. Höhere Ableitungen
  9. Ableitungen aus Prüfungen

Die Ableitung f'(x) ist die Steigung der Funktion f(x) auch mit m bezeichnet. Damit kannst du ausrechnen wie die Steigung generell oder an einem bestimmten Punkt einer Funktion ist.

Quotientenregel

f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}
f'(x)=\frac{u'(x)\cdot{}v(x)-u(x) \cdot{}v'(x)}{v(x)^2}

1. Beispiel

f(x)=\frac{4x^3}{2sin(x)}

f'(x)=\frac{12x^2\cdot{}2sin(x)-4x^3\cdot{}2cos(x)}{(2sin(x))^2}

=\frac{24x^2\cdot{}sin(x)-8x^3\cdot{}cos(x)}{4sin(x)^2}

Vorgehensweise

  • Zähler ableiten mal Nenner stehen lassen MINUS
  • Zähler stehen lassen mal Nenner ableiten
  • Bruchstrich
  • Nenner hoch 2
  • ableiten nach der Potenz- und Faktorregel
  • vereinfachen

2. Beispiel

f(x)=\frac{3x}{2x-5}

f'(x)=\frac{3\cdot{}(2x-5)-3x\cdot{}2}{(2x-5)^2}

=\frac{6x-15-6x}{(2x-5)^2}

=\frac{-15}{(2x-5)^2}

Vorgehensweise

  • Zähler ableiten mal Nenner stehen lassen MINUS
  • Zähler stehen lassen mal Nenner ableiten
  • Bruchstrich
  • Nenner hoch 2
  • ableiten nach der Potenz- und Faktorregel
  • vereinfachen

3. Beispiel

f(x)=\frac{e^x-5}{3cos(x)}

f'(x)=\frac{e^x\cdot3cos(x)-(e^x-5)\cdot{}-3sin(x)}{(3cos(x))^2}

f'(x)=\frac{e^x\cdot3cos(x)+(e^x-5)\cdot{}3sin(x)}{9cos(x)^2}

Vorgehensweise

  • Zähler ableiten mal Nenner stehen lassen MINUS
  • Zähler stehen lassen mal Nenner ableiten
  • Bruchstrich
  • Nenner hoch 2
  • ableiten nach der Potenz- und Faktorregel
  • vereinfachen

Anwendung

  • immer wenn du eine Funktion hast mit einem Bruch, in dem das x im Nenner auftaucht – diese wird auch gebrochenrationale Funktion genannt

Kennst du Dorfuchs? Er hat ein Lied zur Quotientenregel mit Herleitung gesungen.

jetzt bist du dran

f(x)=\frac{10x}{12x-20}

f(x)=\frac{x}{10-e^x}

f(x)=\frac{10sin(x)}{4x+3}

f(x)=\frac{3cos(x)}{e^x+1}

Du kannst mir deine Lösungen gerne per E-Mail schicken oder sie in den Kommentar schreiben. Kennst du andere Ableitungen, die du nicht lösen kannst? Gerne helfe ich dir auch über meine Online Nachhilfe.

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